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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 3 - Límites y continuidad

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2. Calcular los siguientes límites. En cada caso, analizar si la función correspondiente posee asíntotas horizontales.
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x+3}$

Respuesta

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", como hacíamos en sucesiones, arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x+3} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}}{2 x+3}$

Distribuimos la raíz, atenti que nos queda $|x|$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|x| \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2 x+3}$ 

Como $x$ está tendiendo a $+\infty$ es recontra positivo, así que $|x| = x$

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2 x+3}$

Sacamos factor común $x$ en el denominador:

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x(2+\frac{3}{x})}$

Simplificamos y tomamos límite:

$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2+\frac{3}{x}} = \frac{1}{2}$

Por lo tanto, esta función tiene una asíntota horizontal en $y = \frac{1}{2}$ en $+\infty$
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ExaComunidad
Danilo
29 de abril 8:34
Hola profe, como estas? tengo una duda, para resolver este ejercicio yo crei que tenia que multiplicar y dividir por el conjugado, pero al final es con factor comun, mi pregunta es cuando tengo que multiplicar y dividir por el conjugado? supongo que es cuando tenes un termino con raiz y otro sin raiz, pero pregunto para estar seguro
2 respuestas
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