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@Danilo Hola Danilo! Elegir qué herramienta usar para salvar una indeterminación es de lo más difícil y te vas dando cuenta con la práctica... Como bien vos dijiste, un tip que te puede ayudar a ver que multiplicar y dividir por el conjugado puede servir es la presencia de una raíz cuadrada 😉
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@Danilo Avisame si ahora quedó más claro y sino lo seguimos charlando! :)
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2.
Calcular los siguientes límites. En cada caso, analizar si la función correspondiente posee asíntotas horizontales.
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x+3}$
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x+3}$
Respuesta
Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", como hacíamos en sucesiones, arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:
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$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x+3} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}}{2 x+3}$
Distribuimos la raíz, atenti que nos queda $|x|$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|x| \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2 x+3}$
Como $x$ está tendiendo a $+\infty$ es recontra positivo, así que $|x| = x$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2 x+3}$
Sacamos factor común $x$ en el denominador:
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x(2+\frac{3}{x})}$
Simplificamos y tomamos límite:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2+\frac{3}{x}} = \frac{1}{2}$
Por lo tanto, esta función tiene una asíntota horizontal en $y = \frac{1}{2}$ en $+\infty$
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Danilo
29 de abril 8:34
Hola profe, como estas? tengo una duda, para resolver este ejercicio yo crei que tenia que multiplicar y dividir por el conjugado, pero al final es con factor comun, mi pregunta es cuando tengo que multiplicar y dividir por el conjugado? supongo que es cuando tenes un termino con raiz y otro sin raiz, pero pregunto para estar seguro
Flor
PROFE
29 de abril 10:53
Ahora ojo, porque en este caso sólo tenés el término de la raíz cuadrada, y para poder multiplicar y dividir por el conjugado necesitás tener otro término más. Mirá, te lo bajo a tierra: Si vos tuvieras por ejemplo
$\sqrt{x^2 + 1} + 2$ ahí el conjugado sería $\sqrt{x^2 + 1} - 2$
Acá vos tenés únicamente el término de la raíz (ojo que el conjugado no es cambiarle el signo a lo de adentro de la raiz, porque me parece que viene por ahí tu duda) Por eso es que lo que termina ayudando acá es sacar factor común "el que manda" adentro de la raíz.
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Flor
PROFE
29 de abril 10:54
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